『等冪和唯一解定理(數字篇)』
※※※※※※
首先指出，自然數1~2^n等分成兩組，構成的最少項最高次冪的等冪和數組，最源頭的位置只有一組；
1^k+4^k=2^k+3^k，而且只是k=1。
※※※※※※
◆(1)，自然數1~4，最高次等冪和：k=1。
唯一的解；
1,4=2,3。
k=1得：5。
※※※
◆(2)，自然數1~8，最高次等冪和：k=1,2。
唯一的解；
1^k+4^k+6^k+7^k=2^k+3^k+5^k+8^k。
k=1得：18。
k=2得：102。
※※※
◆(3)，自然數1~16，最高次等冪和：k=1,2,3。
唯一的解；
1,4,6,7,10,11,13,16=2,3,5,8,9,12,14,15。
k=1得：68。
k=2得：748。
k=3得：9248。
※※※
◆(4)，自然數1~32，最高次等冪和：k=1,2,3,4。
唯一的解；
1,4,6,7,10,11,13,16,18,19,21,24,25,28,30,31。
=
2,3,5,8,9,12,14,15,17,20,22,23,26,27,29,32。
k=1得：264。
k=2得：5720。
k=3得：139392。
k=4得：3623048。
※※※
◆(5)，自然數1~64，最高次等冪和：k=1,2,3,4,5。
唯一的解；
1,4,6,7,10,11,13,16,18,19,21,24,25,28,30,31,34,35,37,40,41,44,46,47,49,52,54,55,58,59,61,64,
=
2,3,5,8,9,12,14,15,17,20,22,23,26,27,29,32,33,36,38,39,42,43,45,48,50,51,53,56,57,60,62,63。
k=1：1040。
k=2：44270。
k=3：2163200。
k=4：111612176。
k=5：5998553600。
※※※
◆(6)，自然數1~128，最高次等冪和：k=1,2,3,4,5,6。
唯一的解；
1,4,6,7,10,11,13,16,18,19,21,24,25,28,30,31,34,35,37,40,41,44,46,47,49,52,54,55,58,59,61,64,66,67,69,72,73,76,78,79,81,84,86,87,90,91,93,96,97,100,102,103,106,107,109,112,114,115,117,120,121,124,126,127。
=
2,3,5,8,9,12,14,15,17,20,22,23,26,27,29,32,33,36,38,39,42,43,45,48,50,51,53,56,57,60,62,63,65,68,70,71,74,75,77,80,82,83,85,88,89,92,94,95,98,99,101,104,105,108,110,111,113,116,118,119,122,123,125,128。
k=1得：4128。
k=2得：353632。
k=3得：34080768。
k=4得：3503432224。
k=5得：375149733888。
k=6得：41318812346272。
※※※※※※
以上的6例，每例在本身的層面上都是唯一的，意思是：使用相同的自然數1~2^n，等分成兩組，最高次冪的「等冪和數組」，除了以上的例子，不可能找到第二組解。
★特別指出，自然數構成的等冪和，最少項最高次冪的「唯一解」，這屬於「自然數」很原始很基礎的性質，跨越時間與空間，直到今天才被發現，是「自然數的密碼」面世的功勞。
這性質今天是等冪和的，明天是屬於整個數學社會的。
※※※※※※
中國香港：萬樹軍
「數字篇」發表日期：2016年2月22日。
第一發表地點：群組「中國幻方研究協會」，群組「幻方競賽」。
※※※※※※
◆自然數密碼的兩項法則◆
http://m.blog.itpub.net/20489909/viewspace-1389221/