一元2次方一元3次方的通道
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2021年8月2日，在群組求助：b^6=k^2+4d^3。
求：b=？k=？d=？
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莫敖兄和小高同學兩位同伴都認為無解，小高同學還得出了無解的證明，可惜未懂複製貼上。
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因此，今次文章只有用實數作為元素去寫作了。
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由根與係數的新關係式，得到；
X+Y= -A。………………………………………(1)
X^2+Y^2=A^2-2B。……………………………(2)
X^3+Y^3= -A^3+3AB。…………………………(3)
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設定；
b= -(X^3+Y^3)。………………………………(4)
d=XY=B。………………………………………(5)
d^3=(X^3)(Y^3)。………………………………(6)
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因此；
由(3)(4)(5)得：A^3-3dA-b=0。………………(7)
由(4)(6)得：(X^3)^2+b(X^3)+d^3=0。………(8)
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(7)是一元3次方。
(8)是一元2次方。
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(8)的兩個解X^3、Y^3；
X^3=[-b+(b^2-4d^3)^0.5]/2。
Y^3=[-b-(b^2-4d^3)^0.5]/2。
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再得X和Y；
X={[-b+(b^2-4d^3)^0.5]/2}^(1/3)。
Y={[-b-(b^2-4d^3)^0.5]/2}^(1/3)。
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而(X+Y)，就是(7)的母體解。
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就這樣，一元2次方的(7)與一元3次方的(8)，構成了通道：(X+Y)= -A。
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特別指出：(7)的另外兩個解，或者這另外兩個解與以上母體解的關係，因為涉及另外的一個龐大區域，因為離開了自己的能力去討論，因此止步了。
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根與係數的第二關係式(新關係式)：一元n次通式
http://blog.itpub.net/20489909/viewspace-2772307/
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韋達定理與第二關係式(新關係式)的通道
http://blog.itpub.net/20489909/viewspace-2773947/
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特別指出：估計一元3次方以上的方程，都只能得出一個母體解，再使用其它方法，從母體解析出存在的實數解。不可以像一元2次方這樣，使用根號的代數解，直接得出方程中或者存在的實數解。因此，以下的舉例，是使用最簡捷、最容易看懂的方法：逆向操作實數解，完成解釋一元2次方一元3次方的通道→(X+Y)= -A。
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例一：X=2, Y=3。
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得；
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A= -(X+Y)= -(2+3)= -5。
b= -(X^3+Y^3)= -(2^3+3^3)= -35。
d=(X)(Y)=(2)(3)=6。
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由：A^3-3dA-b=0。
得：(-5)^3-3×6×(-5)-(-35)=0。
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由：(X^3)^2+b(X^3)+d^3=0。
代入X=2得：(2^3)^2+(-35)(2^3)+6^3=0
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代入Y=3；
(Y^3)^2+b(Y^3)+d^3=0。
(3^3)^2+(-35)(3^3)+6^3=0
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例二：X= -3, Y=11。
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得；
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A= -(X+Y)= -(-3+11)= -8。
b= -(X^3+Y^3)= -(-3^3+11^3)= -1304。
d=(X)(Y)=(-3)(11)= -33。
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由：A^3-3dA-b=0。
得：(-8)^3-3×(-33)×(-8)-(-1304)=0。
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由：(X^3)^2+b(X^3)+d^3=0。
代入X= -3得：(-3^3)^2+(-1304)(-3^3)+(-33)^3=0
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由：(Y^3)^2+b(Y^3)+d^3=0。
代入Y=11：(11^3)^2+(-1304)(11^3)+(-33)^3=0
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完成：2021年8月3日。
(待續：一元3次方一元4次方的通道)