3blue1brown 频道曾经讲解过一道 Putnam 数学竞赛题目 [YouTube] [Bilibili]，恰好就给出了小黄鸭问题的三维版本的解答。
这道 Putnam 竞赛题目是这样的：在一个球面上均匀随机地取 4 个点，它们连成的四面体包含球心的概率是多少？
这道题跟小黄鸭问题有什么关系呢？注意到，「四面体包含球心」跟「4 个点位于同一个半球面」恰好是互补事件（忽略四点共面、球心位于四面体的面上等零概率事件），所以「4 只小黄鸭位于同一个半球面」的概率，就等于 1 减去「四面体包含球心」的概率。
要解决高维问题，有效的办法还是降维。不过，在上一篇的结尾已经说了，小黄鸭问题无法直接从二维推广到三维，因为「排头」的概念在球面上不适用了。怎么办呢？Putnam 竞赛题里提到了「四面体」的概念，这正好给我们提供了另一种降维的思路：「四面体」在二维里的对应物是「三角形」，所以我们考虑圆周上有 3 只小黄鸭的情况。
我们在圆周上依次放置 3 只小黄鸭。在放了 2 只之后，第 3 只如果想跟前两只构成一个三角形把圆心包含在内，它就只能放在圆周上特定的某一段内。具体地说，设前两只小黄鸭位于 A、B，它们关于圆心的对称点是 A'、B'，那么第 3 只小黄鸭就必须位于 A'、B' 之间的劣弧上。
在 A、B 两点确定之后，三角形 ABC 包含圆心的概率，等于劣弧 A'B' 的长度除以圆周长。但是劣弧 A'B' 的长度不是固定的，它与 A、B 两点的位置有关；而三角形 ABC 包含圆心的概率，应该等于 A、B 遍历所有位置时，劣弧 A'B' 的长度与圆周长比值的期望。这个期望当然可以用微积分来算，不过 3blue1brown 频道给出了一种绕开微积分的巧妙算法。这种巧妙算法的精髓在于，把「在圆周上取三点」的过程用如下的步骤描述：
1. 随机、均匀地选取两条直径；
2. 随机、均匀地在圆周上选取点 C；
3. 在两条直径上，分别等可能地选取一个端点作为 A、B，另一端作为 A'、B'。
这种描述有什么好处呢？我们看第 3 步，这一步里选端点一共有 4 种选法，其中只有一种能让三角形 ABC 包含圆心 —— 把 C 所在的那一段劣弧的端点选为 A'、B'。4 种选法是等可能的，所以在直径和点 C 确定之后，三角形 ABC 包含圆心的概率是 
。剩下的事情，就是要遍历直径和点 C 的所有位置，对这个概率对求期望。然而这个概率 
是个常数啊！于是求期望的步骤就可以免了，
就是答案。「先选直径、再选端点」的描述法的精彩之处，就在于让最后一步达到目的的概率，与前面的步骤无关。
于是我们得到，圆周上三个点组成的三角形包含圆心的概率是 
，那么三个点位于同一个半圆弧上的概率就是 
。可以验证，这个结果与用上一篇中的方法算出的结果是一致的。
现在我们推广回三维。把「在球面上取四点」的过程用如下的步骤描述：
1. 随机、均匀地选取三条直径；
2. 随机、均匀地在球面上选取点 D；
3. 在三条直径上，分别等可能地选取一个端点作为 A、B、C，另一端作为 A'、B'、C'。
正如二维中两条直径把圆周分成 4 段劣弧那样，在三维中，三条直径两两确定一个平面，这些平面会把球面切成 8 个球面三角形。点 D 会落在某一个球面三角形里，第 3 步必须把这个球面三角形的顶点选为 A'、B'、C'，才能让四面体 ABCD 包含球心，这个概率是 
。注意它跟点 D 所在的球面三角形大小无关！于是可以免去对前两步求期望的步骤，直接得到「四面体包含球心」的概率等于 
。如果要问「球面上 4 只小黄鸭位于同一个半球面」的概率，那就是 
了。
上面的推理过程还可以继续向高维推广。考虑 
维空间中的 
维超球面，在上面随机、均匀地选取 
个点，它们构成一个 
维单纯形。这个单纯形包含超球心的概率是多少呢？同样地，把选取 
个点的过程描述成如下三步：
1. 随机、均匀地选取 
条直径；
2. 随机、均匀地在超球面上选取一个点 P；
3. 在 
条直径上，分别等可能地选取一个端点，一边标上不带撇的字母，另一边标上带撇的字母。
所有 
条直径，每 
条一组合，可以得到 
个过球心的超平面，它们将超球面分割成 
份。第 2 步中选取的点 P，会落在其中一份上。点 P 与所有其它不带撇字母表示的点构成一个单纯形，它若要包含超球心，则超球面上 P 点所在的那一块儿的顶点，必须都标有带撇的字母，其概率为 
。这是个常数，所以可以免去对前两步求期望的步骤，直接得到「
维球面上 
个点构成的单纯形包含球心」的概率为 
。那么，「
维球面上 
个点位于同一个半超球面」的概率就是 
了。
现在我们成功打破了次元壁，得到了高维情况的一些结论。不过，这些结论有一个局限性：点数只能等于空间维数加 1。如果我在任意维空间中的超球面上选取任意多个点，它们位于同一个半超球面的概率，又应该怎样计算呢？