一元2次方一元3次方的通道(廣西高明秋的補充)
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由根與係數的新關係式，得到；
X+Y= -A。………………………………………(1)
X^2+Y^2=A^2-2B。……………………………(2)
X^3+Y^3= -A^3+3AB。…………………………(3)
※※※
設定；
b= -(X^3+Y^3)。………………………………(4)
d=XY=B。………………………………………(5)
d^3=(X^3)(Y^3)。………………………………(6)
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因此；
由(3)(4)(5)得：A^3-3dA-b=0。………………(7)
由(4)(6)得：(X^3)^2+b(X^3)+d^3=0。………(8)
※※※
(7)是一元3次方。
(8)是一元2次方。
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(8)的兩個解X^3、Y^3；
X^3=[-b+(b^2-4d^3)^0.5]/2。
Y^3=[-b-(b^2-4d^3)^0.5]/2。
※※※
再得X和Y；
X1={[-b+(b^2-4d^3)^0.5]/2}^(1/3)。
X2=ω{[-b+(b^2-4d^3)^0.5]/2}^(1/3)。
X3=ω^2{[-b+(b^2-4d^3)^0.5]/2}^(1/3)。
Y1={[-b-(b^2-4d^3)^0.5]/2}^(1/3)。
Y2=ω{[-b-(b^2-4d^3)^0.5]/2}^(1/3)。
Y3=ω^2{[-b-(b^2-4d^3)^0.5]/2}^(1/3)。
其中：ω=(-1+i根号3)/2，i为虚数单位。
※※※
b= -((X1或X2或X3)^3+(Y1或Y2或Y3)^3)必成立。
而要满足d=XY，则d=X1Y1=X2Y3=X3Y2。
※※※
而 -(X1+Y1)、-(X2+Y3)、-(X3+Y2)，就是(7)的全體解。
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就這樣，一元2次方的(7)與一元3次方的(8)，構成的通道全部；
(X1+Y1)=(X2+Y3)=(X3+Y2)= -A。
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以下是4種形態的範例。
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A^3-3dA-b=0。
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(X^3)^2+b(X^3)+d^3=0。
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Δ=b^2-4d^3。
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(1) A^3=0。
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有Δ=0且b^2=4d^3=0；
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则A1=A2=A3=0。
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(2) A^3-3A-2=0，(X^3)^2+2(X^3)+1=0。
※※※
有Δ=0且b^2=4d^3≠0。
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X1= -1，X2= -ω，X3= -ω^2。
Y1= -1，Y2= -ω，Y3= -ω^2。
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A1= -(X1+Y1)= 2。
A2= -(X2+Y3)= -1。
A3= -(X3+Y2)= -1。
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(3) A^3-1=0，(X^3)^2+(X^3)=0。
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Δ=1>0。
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X1=0，X2=0，X3=0。
Y1= -1，Y2= -ω，Y3= -ω^2。
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A1= -(X1+Y1)= -1。
A2= -(X2+Y3)=ω^2。
A3= -(X3+Y2)=ω。
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(4) A^3-3A=0，(X^3)^2+1=0。
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Δ= -4<0。
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X1=i，X2=(-根号3-i)/2，X3=(根号3-i)/2。
Y1= -i，Y2=(根号3+i)/2，Y3=(-根号3+i)/2。
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A1= -(X1+Y1)=0。
A2= -(X2+Y3)=根号3。
A3= -(X3+Y2)= -根号3。
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完